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Quantenmechanik 3 (Verschränkung: nichtlokale Standardversion)

Diesmal geht es um ein quantenmechanisches Phänomen, das „Verschränkung“ genannt wird.

Um zu erklären, worum es sich dabei handelt, beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Betrachten wir zwei identische Waggons einer Spielzeugeisenbahn. Wir stellen sie auf ein ebenes, gerades Geleise und koppeln sie aneinander. Dann klemmen wir eine Feder zwischen die beiden Waggons. Wenn wir nun die Verbindung der Waggons lösen, dann werden sie durch die Feder in entgegengesetzte Richtungen beschleunigt.

Offenbar werden nun Messungen der Orte und der Geschwindigkeiten der Waggons zusammen­hängen: Die Geschwindigkeiten beider Waggons sind zu jedem Zeitpunkt gleich groß und einander entgegengesetzt, und gleichzeitig gemessene Orte liegen in gleicher Entfernung vom Startpunkt.

Jetzt machen wir dasselbe Experiment mit „Teilchen“ statt mit Waggons. Nehmen wir an, ein ruhendes Teilchen zerfalle in zwei identische Teilchen A und B. Für Orts- und Geschwindigkeits­messungen an diesen beiden Teilchen gilt dann dasselbe wie zuvor bei den Waggons: Die Geschwindigkeiten beider Teilchen sind gleich groß und einander entgegengesetzt, und gleichzeitig gemessene Orte liegen in gleicher Entfernung vom Zerfallsort.

Soweit ist alles klar und trivial. Worin liegt also das Problem? Darin, dass die Teilchen, im Gegensatz zu den Waggons, vor der Messung keine eindeutigen Geschwindigkeiten und Orte haben, sondern dass bloß eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Messwerte vorliegt. Orte und Geschwindigkeiten stehen erst nach der Messung fest.

Es genügt jedoch, die Messung an einem Teilchen zu vollziehen, um den Wert für beide zu bestimmen. Das liegt daran, dass beide Teilchen eine gemeinsame Wellenfunktion haben. Durch die Messung erfolgt wieder, wie beim Doppelspaltversuch, eine Reduktion dieser Wellenfunktion, so dass danach der Messwert für beide Teilchen feststeht.

Nehmen wir beispielsweise an, wir messen die Geschwindigkeit von Teilchen A. Dadurch erhalten wir ein eindeutiges Resultat für A und für B. Daher gilt für Teilchen B: Vor der Messung hatte B keine bestimmte Geschwindigkeit, nach der Messung hat B jedoch eine bestimmte Geschwindigkeit.

Das ist es also, was Verschränkung oder nichtlokaler Zusammenhang oder auch Fernwirkung genannt wird: Die Messung an A verändert den Zustand von B, und zwar unabhängig davon, wie weit sich B schon von A entfernt hat.

Man kann nun mit Einstein, Podolsky und Rosen folgendermaßen argumentieren (Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev. 47, 777, 1935):

B ist von A beliebig weit entfernt. Die Messung der Geschwindigkeit von A kann daher keinen Einfluss auf B haben. Wenn also nach der Messung der Geschwindigkeit von A auch die von B gegeben ist, dann muss das Ergebnis der Messung von B schon vor der Messung von A festgestanden haben. Da aber die quantenmechanische Beschreibung diese Geschwindigkeit nicht enthält, ist sie unvollständig. (Die Geschwindigkeit wäre in diesem Fall ein sogenannter verborgener Parameter.)

Zweifellos eine plausible Annahme! Genau diese EPR-Annahme, dass das Messergebnis an B schon vor der Messung an A feststeht, weil es einer objektiv existierenden Eigenschaft eines Einzelsystems (hier eines Teilchens) entspricht, ist jedoch eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Ableitung der Bellschen Ungleichung, aus der wiederum folgt, dass keine lokale Beschreibung der Welt möglich ist, die mit den – experimentell überprüften – Voraussagen der Quantenmechanik übereinstimmt. Das Argument, mit dem EPR die Unvollständigkeit der Quantenmechanik zeigen wollten, dient also schließlich dazu, ihre eigene Intention, die Welt auf lokale und objektive Weise zu beschreiben, ad absurdum zu führen.

Die Verschränkung muss daher tatsächlich als nichtlokaler Zusammenhang aufgefasst werden. Anscheinend sind wir gezwungen, uns mit der Nichtlokalität der Welt abzufinden. Dies ist jedenfalls der gegenwärtige Stand der Dinge.

Die Diskussion um diesen seltsamen Sachverhalt dauert bis heute an. Letztlich scheint aber Niels Bohr recht zu behalten, der 1930 meinte: „Nichts ist ein Ereignis, bevor es gemessen wird.“

Dazu ein jüngeres Zitat, zufällig aus Tausenden ausgewählt (DailyMail, 2 June 2015):

„Your entire life is an ILLUSION: New test backs up theory that the world doesn’t exist until we look at it.

– Quantum mechanics states reality doesn’t exist until it’s measured

– This means a particle’s past behaviour changes based on what we see“

Man könnte mit solchen und ähnlichen Behauptungen ganze Bibliotheken füllen. Die einzige Aussage, die mir des Zitierens wert scheint, stammt aber vom Erfinder des Beweises der Nichtlokalität, John Bell, selbst:

„The discomfort that I feel is associated with the fact that the observed perfect quantum correlations seem to demand something like the „genetic“ hypothesis. For me, it is so reasonable to assume that the photons in those experiments carry with them programs, which have been correlated in advance, telling them how to behave. This is so rational that I think that when Einstein saw that, and the others refused to see it, he was the rational man. The other people, although history has justified them, were burying their heads in the sand. I feel that Einstein’s intellectual superiority over Bohr, in this instance, was enormous; a vast gulf between the man who saw clearly what was needed, and the obscurantist. So for me, it is a pity that Einstein’s idea doesn’t work. The reasonable thing just doesn’t work.“ (John Stewart Bell, quoted in Quantum Profiles by Jeremy Bernstein [Princeton University Press, 1991, p. 84] )

Bell hat also intensiv bedauert, dass die Dinge sich nicht so vernünftig verhalten, wie Einstein annahm – obwohl er ihn ja selbst widerlegt hat. Glücklicherweise lässt sich aber zeigen, dass sie sich doch vernünftig verhalten, wenn auch nicht auf die naheliegende Weise wie in der Arbeit von Einstein, Podolsky und Rosen vermutet. Wie beim Doppelspalt­experiment sieht man sich durch die eigentliche Erklärung zwar zu fundamentalen Änderungen im Verständnis der Wirklichkeit gezwungen, aber andererseits ist die Lösung des Rätsels zuletzt doch ganz einfach.

Ich werde wie beim Doppelspaltexperiment vorgehen: Zunächst werde ich ein Verschränkungs­szenario für Messungen von Photonen­polarisationen in der üblichen Betrachtungsweise skizzieren. Dazu werde ich eine einfache Variante der Bellschen Ungleichung für dieses Szenario vorstellen.

Danach werde ich dasselbe Verschränkungsszenario so beschreiben, wie es sich gemäß den Modellannahmen zeigt, die wir der Aufklärung des Doppelspalt­experiments zugrunde gelegt haben. Es wird sich herausstellen, dass der Bellsche Beweis unter dieser Voraussetzung nicht durchführbar ist.

Zuletzt werde ich zeigen, wie die quantenmechanischen Resultate auf lokale Weise berechnet werden können. Dafür wird ein wenig Mathematik unerlässlich sein; ich werde mich aber auf das Notwendigste beschränken. (Im Grunde genügt es aber eigentlich, den Bellschen Beweis zu widerlegen. Wenn er fällt, ist der Weg für lokale Darstellungen ohnehin offen.)

Zunächst also das Szenario in der üblichen Beschreibung:

EPR

In Z werden nacheinander Paare von Photonen erzeugt. P1 und P2 sind Polarisatoren, D1 und D2 Photonen­detektoren. Die Ebene des rechten Polarisators P2 ist um den Winkel δ gegenüber der Ebene des linken Polarisators P1 verdreht.

Vor der Messung haben die Photonen keine bestimmte Polarisation – alle Polarisations­richtungen sind gleich wahrscheinlich. Die Messwerte hängen jedoch zusammen: die gemessenen Polarisations­richtungen der beiden Photonen sind stets zueinander rechtwinklig. (Das ist die Verschränkungsbedingung.)

Wie wird die Polarisation gemessen? Einfach dadurch, dass ein Photon detektiert (bzw. nicht detektiert) wird. Um den Detektor zu erreichen (bzw. nicht zu erreichen), muss das Photon den Polarisator durchquert (bzw. nicht durchquert) haben, und das bedeutet: seine Polarisations­richtung ist parallel (bzw. normal) zur Ausrichtung des Polarisators.

Wird die Polarisation eines Photons, sagen wir: des linken, gemessen, dann ist auch die Polarisation des rechten gegeben: Wenn das linke Photon im Detektor erscheint, dann ist seine Polarisation parallel zur Richtung des linken Polarisators; Dann steht auch ohne Messung fest, dass die Polarisation des rechten normal zu dieser Richtung ist. Es wird dann mit der Wahrscheinlichkeit cos²(90 – δ) den rechten Polarisator passieren – oder, um es genauer zu sagen: passiert haben; Unsere Messung an dem einen Photon entscheidet also nicht nur über die Gegenwart, sondern auch über die Vergangenheit des anderen Photons.

(Wie bei Transversalwellen jeder beliebigen Art geht auch bei Licht nicht die ganze Welle durch den Polarisator, sondern bloß die Amplitude mal dem Kosinus des Winkels zwischen der Polarisationsrichtung der Welle und der Ausrichtung des Polarisators. In der üblichen Interpretation handelt es sich im Fall von Licht aber nicht um die Amplitude einer wirklich existierenden Welle, sondern bloß um die Wurzel der Durchgangs­wahrscheinlichkeit des Photons.)

Das ist der Ausgangspunkt des EPR-Arguments: In der quantenmechanischen Beschreibung liegt das rechte Photon nach der Messung des linken in einem anderen Zustand vor als vor dieser Messung. Da aber auszu­schließen ist, dass die Messung am linken Photon den Zustand des – beliebig weit entfernten – rechten Photons tatsäch­lich geändert haben könnte, muss angenommen werden, dass die Polarisation des rechten Photons schon vor der Messung existierte. Vor der Messung gibt es aber der Quantenmechanik zufolge keine bestimmte Polarisation, also ist nach EPR die Quantenmechanik unvollständig.

Nehmen wir an, EPR hätten recht: beide Photonen haben schon vor der Messung eine bestimmte Polarisation. Unter dieser Voraussetzung lässt sich der Bellsche Beweis durchführen. Das soll nun an einer für unser Beispiel adaptierten Variante der Bellschen Ungleichung demonstriert werden (nach Bernard d’Espagnat 1979), die keine mathematischen Kenntnisse erfordert, sondern nur auf logischen Schlussfolgerungen aufbaut.

Sei x der Winkel des linken, z der Winkel des rechten Polarisators. N(x|z) sei die Zahl der Fälle, in denen bei N Messungen beide Detektoren ansprechen.

Wir wissen, dass die Polarisations­richtungen der beiden Photonen immer zueinander rechtwinklig sind. Daraus folgt: Wenn beide Polarisatoren auf denselben Winkel eingestellt sind, dann gehen niemals beide Photonen eines Paares durch, sondern immer nur entweder das linke oder das rechte. Daher kann N(x|z) unterteilt werden in N(x,y|z) (das ist die Zahl jener Photonen aus N(x|z), die auch bei einem weiteren Winkel y links durchgehen würden) und N(x|y,z) (die Zahl der Photonen aus N(x|z), die bei demselben Winkel y rechts durchgehen würden):

N(x|z) = N(x,y|z) + N(x|y,z)

(Dies ist der Punkt, an dem die EPR-Annahme eingeht, dass die Objekte (Photonen) voneinander getrennt sind und ihre Eigenschaften schon vor der Messung haben. Wenn die Objekte verschränkt sind, dann sind die obigen Schlüsse unzulässig; Durch die EPR-Annahme ist es aber möglich, Aussagen darüber zu machen, was bei der Einstellung der Polarisatoren auf den Winkel y der Fall wäre, wenn dieselben Photonenpaare unterwegs wären wie bei der Messung mit den Winkeln x und z.)

Es gilt sicher N(x,y|z) ≤ N(y|z), da die Zahl der Photonen, die bei y durchgehen, nicht kleiner sein kann als die Zahl der Photonen, die sowohl bei y als auch bei x durchgehen. Ebenso gilt N(x|y,z) ≤ N(x|y).

Damit folgt aus der obigen Gleichung die Bellsche Ungleichung:

N(x|z) ≤ N(x|y) + N(y|z)

Die Anzahl der Photonen, die bei den jeweiligen Winkeln durchgehen, kann hier durch die Wahrscheinlichkeit des Durchgangs ersetzt werden:

W(x|z) ≤ W(x|y) + W(y|z)

Diese Ungleichung lässt sich nun durch eine konkrete quantenmechanische Voraussage überprüfen. Die quantenmechanisch errechnete Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens von Photonen in beiden Detektoren hängt nur vom Winkel δ ab, und es gilt:

W(δ ) = (1/2) sin²δ

Der Winkel δ ist der Differenzwinkel zwischen den Winkeln der beiden Polarisatoren, also gilt:

W(x|z) = (1/2) sin²(z – x)

W(x|y) = (1/2) sin²(y – x)

W(y|z) = (1/2) sin²(z – y)

Rechnet man diese Wahrscheinlichkeiten für die Winkel x = 0°, y =22,5°, z = 45° aus und setzt sie in die Bellsche Ungleichung

W(x|z) ≤ W(x|y) + W(y|z)

ein, dann erhält man

0,5 ≤ 0,1464 + 0,1464

0,5 ≤ 0,293

– und das ist offensichtlich falsch. Die Bellsche Ungleichung steht also im Widerspruch zur Quantenmechanik. Experimente bestätigen die Quantenmechanik.

Wie oben ersichtlich, gehen aber in die Ableitung der Bellschen Ungleichung – außer Logik und Mathematik, deren Richtigkeit vorausgesetzt ist – nur zwei Annahmen ein: Die Verschränkungs­bedingung (die Polarisations­richtungen der beiden Photonen sind zueinander rechtwinklig, also wird bei gleichem Polarisator­winkel links und rechts stets entweder links oder rechts ein Photon detektiert) und die EPR-Annahme. Die Gültigkeit der Verschränkungsbedingung ist experimentell erwiesen. Somit folgt aus der Falschheit der Ungleichung die Falschheit der EPR-Annahme, und das heißt:

Vor der Messung der Polarisation des einen Photons hat das andere Photon keine bestimmte Polarisation. Nach dieser Messung hat es eine Polarisation. Das bedeutet: Die Messung des einen Photons bewirkt eine Zustandsänderung des anderen; Es gibt tatsächlich einen nichtlokalen Zusammenhang.

Soweit also der allgemein als verbindlich aufgefasste Beweis.

Er ist jedoch falsch, weil er auf falschen Voraussetzungen beruht. Ich werde zeigen: Was bei einem Verschränkungsszenario tatsächlich vorgeht, wird von diesem „Beweis“ überhaupt nicht erfasst.

Da die Beschreibung des 2-Photonen-Szenarios mehr Raum eingenommen hat als ursprünglich geplant, muss ich die lokale und objektive Beschreibung dessen, was wirklich geschieht, auf nächstes Mal verschieben. (Schon wieder ein Cliffhanger…)

 

Zni Kiprot (Replikant, Serie Nexus 11)